Okumura's Blog

一つ前 を書いていて，リッカート尺度のアンケートと点数による投票が同じことであることに気づき，BalinskiとLarakiのサイト vote expérimental をもう一度見ようと思ったのだが，見つからない。幸い Internet Archiveのアーカイブ に入っていた。

彼らの方法は，基本的にはメジアンを使うが，メジアン値 i より高評価が多いか低評価が多いかによって i+ と i- に分ける。i+ でタイが生じれば，i より高評価の割合の大小で勝敗を決める。i- でタイが生じれば，i より低評価の割合の小大で勝敗を決める。ちょっと恣意的？

評価 i を与えた人の割合が p_i であれば，リッカート尺度の平均 Σ ip_i は，Range Voting の投票得点と同じである。単純で，ややこしいことが起きず，検出力も高いが，間隔尺度でないものの平均をとることを気持ち悪く思われるかもしれない。そこで，度数分布 p_i，q_i があったとき，両者からランダムに一つずつ選んだときにどちらが勝つ確率が大きいかを使えば，順序尺度しか仮定せずに勝ち負けが決められる。つまり，2重和 Σ sgn(i-j) p_i q_j の正負で勝ち負けを決めればよい。このほうがBalinskiとLarakiの方法よりすっきりしているではないか。

あ，駄目だ。こんな単純な決め方ではグーチョキパーのような三すくみ（ループ）が生じてしまう。^^;

どなたか良いアイデア・文献・サイトをお教えください。

[追記] 上で「恣意的」と書いたことを補足。例えば [低, 中, 高] 評価の割合が
Foo = [0.2, 0.5, 0.3]
Bar = [0.29, 0.4, 0.31]
とすると，BalinskiとLarakiの方法ではどちらも「中+」評価となり，タイを破るために高評価の割合を比較するとBarが大きいので，Barが勝つ。Range Voting（Σ ip_i）ではFooが勝つ。上で提案した Σ sgn(i-j) p_i q_j でもFooが勝つ（3段階なら三すくみは生じない）。

[問] i,j = 1,2,3 のとき，
Σ sgn(i-j) p_i q_j > 0,
Σ sgn(i-j) q_i r_j > 0
ならば
Σ sgn(i-j) p_i r_j > 0
であることを示せ。

一方，3レベルの場合，もっと単純な間隔尺度 [-1,0,1] を用いれば，得点は単に 高 - 低 になる。メジアンを基準として，タイになるものを 高 - 低 の符号で + と - に2分するBalinskiとLarakiの方法は，まさにこれを使っているに過ぎない。ならば最後まで同じ基準を使えば一貫性があるのではないか。さきほどの例では Foo = 中+0.1，Bar = 中+0.02 となって，Fooが勝つ。