一般フォーラム

調べてみました。
「jsclassesのバグ」というのはちょっと違うような気がします。

まず、原因です。
下の例のように、$$ と \halign の間に
\begingroup\endgroup が挟まってもエラーにはならないのですが、
挟まるのが \bgroup\egroup だとエラーになる、ということのようです。
例では \everydisplay（LaTeXでは \frozen@everydispay に保存されている） を使って $$ と \halign の間に挟まるようにしていますが、
直接書いても同様です。

このTeXの挙動、私は知りませんでした。どこかに書かれているでしょうか？

で、質問にある状況でどうしてこれが起こるかというと、以下のような事情です。
nag パッケージは LaTeX コードの妥当性チェックのために \footnotesize に細工をします。
この細工の中で、チェック作業を保護するために \bgroup と \egroup を使っています。
一報、 js***クラスは、ディスプレイ数式で行送りを設定するために
\everydisplay に \narrowbaselines を入れています。
これが巡りめぐって \footnote 内の $$ のところで \bgroup と \egroup を生じさせることで、エラーが起こっています。
なので、そこを \begingroup と \endgroup に差し替えるとうまくいくかも。
とりあえず最初のサンプルではエラーはなくなりました。

%%% エラーの直接的な原因となるサンプルコード
\documentclass{article}

\begin{document}

\begingroup% \tracingall の有効範囲ここから

\makeatletter
%\frozen@everydisplay={}% これは通る
%\frozen@everydisplay={\begingroup\endgroup}% これでも通る
\frozen@everydisplay={\bgroup\egroup}% これだと通らない

\tracingall

$$\halign{#\cr x\cr}$$

\endgroup% \tracingall の有効範囲ココマデ

\end{document}

%%% 最初の質問でエラーが出ないように修正したコード

\RequirePackage[l2tabu, orthodox]{nag}
\documentclass[a4paper, xelatex, ja=standard, everyparhook=compat]{bxjsarticle}
%\documentclass[uplatex]{jsarticle}
\usepackage{amsmath}
\begin{document}
\makeatletter
\def\nag@ifCurrentEnvironment#1#2#3{%
%\bgroup% もとの \bgroup を
\begingroup% \begingroup に差し替え
\def\tmp@a{#1}\ifx\@currenvir\tmp@a#2\else#3\fi
%\egroup% もとの \egroup を
\endgroup% \endgroup に差し替え
}
\makeatother
\footnote{
\begin{align}
x&\\y&
\end{align}
}
\end{document}