一般フォーラム

次のような感じでしょうか？
ただどうしても誤差がでてしまいます．

\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections,calc}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[scale=2]
  \draw[->](-.5,0)--(1.5,0);
  \draw[->](0,-.5)--(0,1.5);
  \coordinate[label=-135:O](O)at(0,0);
  \draw[name path=fx,domain=0:1]plot[smooth](\x,{(\x)^2});
  \draw[name path=gx,domain=0:1]plot[smooth](\x,{1-(\x)^2});
  \path[name intersections={of=fx and gx,by=P}];
  \draw[dashed](P-|O)node[left]{$y$}--(P)--(P|-O)node[below]{$x$};
  \path let \p1=(P), \p2=(1,1) in {%
  node at(0,-1){%
    \pgfmathparse{\x1/\x2}%
    \let\coorx=\pgfmathresult
    \pgfmathparse{\y1/\y2}%
    \let\coory=\pgfmathresult
  $(x,y)=(\coorx,\coory)$
  }};
\end{tikzpicture}
\end{document}

パッと思いつく方法は次のようなものです。

• パス演算子の let を使う
• math ライブラリの \tikzmath を使う

後者のほうが応用範囲が広いので、こちらの例を示します。

\documentclass[a4paper]{article}
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{intersections,math}
\begin{document}
\begin{tikzpicture}[x=1pt,y=1pt]
\draw[name path=Circle] (0,0) circle[radius=60];
\draw[name path=Line] (0,0)--(60,60);
\path[name intersections={of=Circle and Line, by={A}}];
% 所望の点に「A」という名前が付いている
\tikzmath{
  coordinate \c; \c{A} = (A);
  % \cx{A} が「42.45473pt」に, \cy{A} が「42.42291pt」に
  % 展開されるようになる.
}
\typeout{(\cx{A}, \cy{A})}% 端末に表示
\fill (A) circle[radius=2pt]
  % ノードのラベルに入れる
  node[right=6pt] {(\cx{A}, \cy{A})};
\end{tikzpicture}
\end{document}

\cx{A}、\cy{A} を pgfmath の計算式で使うこともできます。しかし、「tikzpicture 環境の外に持っていきたい」という場合はチョットした TeX 言語が要りそうです。