私にはちょっと不得手な質問でしたが、誰も答えないので、たたき台です。
別解や、jlreq だったらこうしたほうが良いという意見、大歓迎。
エンジンが指定されていなかったので platex で検証しました。 検証に利用したソースを添付します。 ソース内に書き込んだコメントを参考にしてください。
さて...
質問 1 ... section 項目を1.1や1.2ではなく第1節、第2節と表示させたい
\thesection は book の場合 \thechapter.\arabic{section}} となってるのでこれや参照しているところを対処
今回のようなケースでは ModifyHeading{section} で対処するほうが良いと思いますが、 ドキュメント内で \thesection を参照する場合を考慮し それを再定義した上で、ModifyHeading で対処する方法も検討してみました。
\ModifyHeading{section}{label_format={第\arabic{section} 節}}
あるいは
\renewcommand{\thesection}{\arabic{section}}
\ModifyHeading{section}{label_format={第\thesection 節}}
質問2 ... 目次で「部 part」にある余分な空白を取り除きたい
.toc に「{第I部\hspace *{1zh}}PART}」とあったので ModifyHeading{part} で挑戦してみたけど解決できず。 インターネット上にある \l@part の書き換えで暫定対処。
\makeatletter \let\l@part\l@chapter \makeatother求む ... ModifyHeading{part} での解決方法
質問3 ... chapterとかsectionの見出しのデザイン変更
別の解法がありそうですが ... たたき台として以下を試してみました
なお、book の場合 tableofcontents は chapter 扱いなので、 以下の変更は tableofcontents より後に記述する必要ありと考えています。
\ModifyHeading{chapter}{format={\underline{第\thechapter 章 #2}}}