それ以外の場合,例えば\boxtimesの上下に添字を付けたいのですがどうすればいいのでしょうか?
\overset{{}_nC_m}{\underset{\ii=1}{\scalebox{2}[2]{\boxtimes}}}
とすると行の中心からかなり上寄りにずれて出力されてしまいます。
> \[ \] は何なのですか?
これはLaTeXの超基本事項だと思うので，適当に調べてみてください．（黒木さんの「勉強してください」はこの点だと思います．）
> エラーが出てしまいました。
こちらでは黒木さんの提示されたソースはきちんとコンパイルされます．また
> \displaystyle\mathop{\scalebox{2}[2]{\boxtimes}}_{i=1}^{{}_nC_m}N^n
は（たとえ$$で囲もうとも，graphicxやamssymbを\usepackageしようとも）こちらでは通りません．実際に試した完全なソース（黒木さんが提示しているような\documentclassや\usepackage等もつけたもの）を提示するようにすると，意思疎通がスムーズになります．
-------------------
おそらく試されたソースは次のようなもの（とほぼ同じ）ではないかと思います．
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\[
\mathop{\scalebox{2}[2]{$\boxtimes$}}_{i=1}^{{}_nC_m}N^n
\]
\end{document}
このあたりが参考になるでしょうか？
https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa/36140.html
これはLaTeXの超基本事項だと思うので，適当に調べてみてください．（黒木さんの「勉強してください」はこの点だと思います．）
> エラーが出てしまいました。
こちらでは黒木さんの提示されたソースはきちんとコンパイルされます．また
> \displaystyle\mathop{\scalebox{2}[2]{\boxtimes}}_{i=1}^{{}_nC_m}N^n
は（たとえ$$で囲もうとも，graphicxやamssymbを\usepackageしようとも）こちらでは通りません．実際に試した完全なソース（黒木さんが提示しているような\documentclassや\usepackage等もつけたもの）を提示するようにすると，意思疎通がスムーズになります．
-------------------
おそらく試されたソースは次のようなもの（とほぼ同じ）ではないかと思います．
\documentclass[dvipdfmx]{jsarticle}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{graphicx}
\begin{document}
\[
\mathop{\scalebox{2}[2]{$\boxtimes$}}_{i=1}^{{}_nC_m}N^n
\]
\end{document}
このあたりが参考になるでしょうか？
https://oku.edu.mie-u.ac.jp/~okumura/texfaq/qa/36140.html
\[ \] でエラーが出るという点は謎なままですが‥‥
ひょっとして、「\boxtimes ではサイズが気に入らず 2 倍にしたいのだが、
ベースライン基準で拡大されるとバランスが悪いので、中心軸基準で
拡大したい」ということでしょうか。
それならば次のような感じでどうでしょう。
\documentclass{article}\relax
\usepackage{amssymb,graphicx}\relax
\begin{document}
\[
x = \mathop{%<br /> \vcenter{\hbox{%<br /> \scalebox{2}{$\boxtimes$}%
}}
}_{i=1}^{{}_nC_m}a_i
\]
\end{document}
