以下の内容を実現しています（最初に私が挙げた要望とは少し異なりますが、こちらの方がオーソドックスだと思いますので変更しました）。
・フッターにノンブル、ヘッダーに柱を表示
・\section のあるページは改丁し、ヘッダーを表示しない
・図版（table環境やfigure環境の表示位置）が上部に来たときにはヘッダーを表示しない
・白ページや扉にはヘッダーもフッターも表示しない
プリアンブルに以下の内容を記述し、\section の直前に \newsection を入れれば、そのページにはヘッダーが表示されません。jsarticle.clsを使用し、twosideにも対応しています。
\documentclass[a4j,10pt]{jsarticle}
\usepackage{fancyhdr}
\pagestyle{fancy}
\if@twoside
\fancyhead[RO]{\rightmark}
\fancyhead[LE]{\leftmark}
\fancyfoot[RO,LE]{\thepage}
\else
\rhead{\leftmark}
\rfoot{\thepage}
\fi
\newcommand\newsection{\cleardoublepage\thispagestyle{noheader}}
\fancypagestyle{noheader}{
\fancyhf{}
\if@twoside
\fancyfoot[RO,LE]{\thepage}
\else
\rfoot{\thepage}
\fi
}
\let\OldRightmark\rightmark
\renewcommand{\rightmark}{\iftopfloat{}{\OldRightmark}}
\let\Oldleftmark\leftmark
\renewcommand{\leftmark}{\iftopfloat{}{\Oldleftmark}}
何かわからないことがあればドキュメントやソースを読む、ということは常々心がけているのですが、今回はマクロを組まなければという意識が先走りしっかりドキュメントを読んでいませんでした。fancyhdrのドキュメントに必要なことのほとんどは書いてありました。
ご教授どうもありがとうございました。