名前: 長瀧 日時: 2007-01-17 20:27:19 IPアドレス: 133.52.50.*
EasyTex 3.166を使い卒論を書いていたのですが，数式をたくさん書いてから コンパイルが上手くいかないようになりました。 エラーメッセージのようなものは出ず，dvioutに出力すると何故か 途中のページまでしか表示されません。 数式が増えてからこのような状態になったのでそのあたりが原因なのではと 思っているのですが，それ以降は数式を削除してからコンパイルし直しても やはり途中のページまでしか表示されないようです。 何が原因なのでしょうか？よろしくお願いします。 \documentclass[a4j,11pt]{jarticle} \usepackage{wrapfig} \usepackage{amsmath} \usepackage[dviout]{graphicx} \topmargin=-10pt \headheight=0pt \footskip 15mm \textheight=690pt \begin{document} \setcounter{section}{3} \section{作成ソフトについて} \subsection{モデルと使用した計算式} \subsubsection{モデル化に向けて} 惑星の軌道やその軌道上の位置を求めるためには，軌道要素とよばれる値が必要となる。ここでは各惑星の運動を，太陽の回りの離心軌道を持つ二体問題(楕円運動)として考え，それぞれの軌道要素を与えて各惑星の軌道とその上での惑星の位置を解くこととする。その際，以下のデータを使用した。(2007年度理科年表より) \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline &$M_0(^\circ)$ &$a(\text{AU})$ &$e$ &$P(\text{year})$ &$\Omega(^\circ)$ &$\tilde{\omega}(^\circ/\text{day})$ &$i(^\circ)$ \\ \hline 水星 &340.456 &0.3871 &0.2056 &0.24085 &48.321 &77.468 &7.005 \\ \hline 金星 &305.299 &0.7233 &0.0068 &0.61521 &76.658 &131.564 &3.395 \\ \hline 地球 &291.910 &1.0000 &0.0167 &1.00004 &174.854 &102.964 &0.001 \\ \hline 火星 &75.714 &1.5237 &0.0934 &1.88089 &49.535 &336.095 &1.849 \\ \hline 木星 &257.270 &5.2026 &0.0485 &11.8622 &100.480 &14.348 &1.303 \\ \hline 土星 &52.520 &9.5549 &0.0555 &29.4578 &113.645 &93.101 &2.489 \\ \hline 天王星 &174.540 &19.2184 &0.0463 &84.0223 &74.013 &173.012 &0.773 \\ \hline 海王星 &273.306 &30.1104 &0.0090 &164.774 &131.782 &48.123 &1.770 \\ \hline \end{tabular} \end{center} それぞれの記号の意味は以下の通りである。\\ \begin{itemize} \item $i$（軌道傾斜角）：太陽の周りを運動する天体の軌道面と黄道面のなす角度であり，$i<90^\circ$の場合を順行軌道，$i>90^\circ$の場合を逆行軌道という。 \item $\Omega$（昇交点黄経）：黄道面の南側から北へ通り抜ける点（昇交点）の黄経である。 \item $\tilde{\omega}$（近日点黄経）：太陽を中心として，昇交点から軌道に沿って天体の運動方向に近日点まで測った角を近日点引数($\omega$)といい，$\Omega+\omega$を近日点黄経とよぶ。 \item $M_0$（元期平均近点離角）：惑星が実際に運動した角度ではなく，平均的な角速度で運動したと仮定した時の角度を平均近点離角といい，ある元期に対する平均近点離角を元期平均近点離角という。 \item $a$（軌道長半径）：楕円軌道において，長軸の長さの半分である。 \item $e$（軌道離心率）：真円の軌道では0，楕円軌道では$0<e<1$で扁平になるほど大きくなる。 \item $P$（公転周期）：ある惑星が軌道を一周するのに要する時間。 \end{itemize} \begin{center} \includegraphics*[width=5cm,clip]{軌道要素.eps} \end{center} \subsubsection{全体の計算スキーム} 軌道上での位置と観測者からの見かけの位置の計算のために，踏むべき計算ステップは次の通りである。\\ (1)ユリウス日を求める。\\ (2)太陽の周りの各惑星の軌道(楕円)運動を解き，与えられた時点における惑星の位置を決める。\\ (3)地球及び対象惑星の位置を日心黄道座標での値に直す。\\ (4)太陽に原点を持つ直角座標系を介在させて，各惑星の位置を地心黄道座標に変換する。\\ (5)惑星の位置を赤道座標に直す。\\ (6)観測地，観測日時の情報より，地方赤道座標に変換する。\\ (7)地平座標に変換する。 \subsubsection{ユリウス日を求める} 世界時Y年M月D日H時におけるユリウス日(JD)を求める\\(Fundamental Astronomy,1987)\\ ・Hを24でわったものにDを加えた数をD1とする。\\ ・もし1月か2月なら，Yから1を引き，Mに12を加える。\\ ・Yを100で割った商の整数部分をAとする。\\ ・そのAを4で割った商の整数部分をA1とする。\\ ・B=2-A+A1を計算する。\\ ・365.25にYをかけたものの整数部分をCとする。\\ ・Mに1を足したものに30.6001をかけた数の整数部分をDDとする。\\ するとJDはB+C+D1+DD+1720994.5で求められる。 \subsubsection{楕円軌道の式} $a$と$e$はわかっている。焦点の一つ(太陽がある)を原点として，長軸方向に$x$軸(近日点が正の方向)，短軸方向に$y$軸を取り，$v$を真近点離角とすると， 楕円上の任意の点Pの座標($x$,$y$)は \begin{eqnarray} x&=&r\cos v \nonumber\\ y&=&r\sin v \label{eq:daen} \end{eqnarray} である。また,離心近点離角$E$を用いると \begin{eqnarray} x&=a\cos E-ae \\ y&=a\sqrt{1-e^2}\sin E \nonumber\ \end{eqnarray} ともあらわすことができ，動径の長さ$r$は \begin{equation} r=a(1-e\cos E) \end{equation} である。したがって，式(\ref{eq:daen})より \begin{equation} r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos v}\label{eq:doukei} \end{equation} と表すことができる。つまり$v$が分かれば位置が決まる。 %1 \subsubsection{惑星の位置を求める} ある楕円軌道上を天体はどのように運行するのか。あるいは，近日点を通過してからある時間経った時に，軌道上のどこにいるのか，すなわち軌道上の近日点から どれだけ動いているか。これを解く必要がある。\\ すぐに求められるのは,位置を計算する時期$T$(ユリウス日に換算してある)と近日点通過時期$T_0$とから求める，近日点から計った平均近点離角$M$，すなわち， \begin{equation} M=n(T-T_0)\label{eq:kintenrikaku} \end{equation} である。ここで$n$は平均運動と呼ばれるもので，$n=2\pi/P$で与えられる。次に，ケプラー方程式 \begin{equation} E-e\sin E=M\label{eq:kepler} \end{equation} を解いて離心近点離角Eを求める。ここではNewton-Raphson法で解いた。計算した$E$からは真近点離角$v$が次式で求められる。 \begin{equation} \tan \frac{v}{2}=\sqrt{\frac{1+e}{1-e}}\tan \frac{E}{2} \end{equation} $v$がわかれば，軌道長半径$a$と離心率$e$とから，その時点での太陽と惑星の距離$r$が式(\ref{eq:doukei})からすぐに計算できる。\\ なお理科年表には，直接には近日点通過時期$T_0$は載っていない。代わりに元期$T_1$($JD=2454400.5$)における平均近点離角$M_0$が掲げられているので， これをもとに$M$を計算した。すなわち，式(5)の代わりに \begin{equation} M=n(T-T_1)+M_0 \end{equation} とした。 \subsubsection{Newton-Raphson法} 解くべき式$f(x)=0$に対してまずある出発地$x_0$を選ぶ。$|f(x_0)|$が十分0に近ければ，それが解である。違う場合，次のもの \begin{equation} x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f'(x_0)} \nonumber \end{equation} をより近い近似解とするものである。これがまだ不十分であれば，さらに$x_0$に$x_1$の値を入れ，同じ事を繰り返す。\\ 今回はケプラー方程式$E-e\sin E=M$をNewton-Raphson法を用いて解いた。すなわち，解くべき式を \begin{eqnarray} f(E) &=&E-e\sin E-M \nonumber \\ f'(E)&=&1-e\cos E \end{eqnarray} とし，出発地として$M$を与える。 \subsubsection{日心黄動座標への変換} \begin{wrapfigure}{r}{8zw} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=5cm,clip]{黄道座標.eps} \end{wrapfigure} 太陽を中心とする日心黄動座標へ変換する。日心黄経$\lambda_\odot$,日心黄緯$\beta_\odot$は以下の式で求まる。 \begin{eqnarray} \sin \beta_\odot &=& \sin (v+\omega)\sin i \nonumber\\ \cos \beta_\odot \sin (\lambda_\odot-\Omega)&=& \sin (v+\omega)\cos i \\ \cos \beta_\odot \cos (\lambda_\odot-\Omega)&=& \cos (v+\omega)\nonumber \end{eqnarray} ここで，$\lambda_\odot$の$0^\circ$は太陽から見た春分点の方向であり，そこから地球の軌道面である黄道面に沿ってはかる。 また，$\beta_\odot$はこの黄道面を$0^\circ$としている。 \subsubsection{地心黄道座標への変換} この場合の地心黄経$\lambda_\oplus$の$0^\circ$は地球から見た春分点の方向であり，地心黄緯$\beta_\oplus$は地球の軌道面が基準になっている。 日心座標から地心座標に変換するために，次のような太陽に原点を持つ直角座標($x$,$y$,$z$)系を導入する。ここで$xy$平面は地球の軌道面， $x$軸の正の向きは太陽から見た春分点の向きとする。すると，各惑星の座標(添字j)と地球の座標(添字3)は，それぞれ \begin{eqnarray} x_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j}\cos \beta_{\odot,\text{j}}\cos \lambda_{\odot,\text{j}} \nonumber\\ y_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j}\cos \beta_{\odot,\text{j}}\sin \lambda_{\odot,\text{j}} \label{eq:wakuseizahyou}\\ z_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j}\sin \beta_{\odot,\text{j}} \nonumber \end{eqnarray} および， \begin{eqnarray} x_{\odot,3}&=&r_3\cos \beta_{\odot,3}\cos \lambda_{\odot,3} \nonumber \\ y_{\odot,3}&=&r_3\cos \beta_{\odot,3}\sin \lambda_{\odot,3} \\ z_{\odot,3}&=&r_3\sin \beta_{\odot,3} \nonumber \end{eqnarray} で与えられるので，地球を中心とする座標は \begin{eqnarray} x_{\oplus,\text{P}}&=&x_{\odot,\text{j}}-x_{\odot,3} \nonumber \\ y_{\oplus,\text{P}}&=&y_{\odot,\text{j}}-y_{\odot,3} \\ z_{\oplus,\text{P}}&=&z_{\odot,\text{j}}-z_{\odot,3} \nonumber \end{eqnarray} となる。この地球中心の直角座標の値から，逆に地心黄経$\lambda_\oplus$，黄緯$\beta_\oplus$が次のように計算できる。すなわち， \begin{equation} \Delta=\sqrt{x^2_{\oplus,\text{P}}+y^2_{\oplus,\text{P}}+z^2_{\oplus,\text{P}}} \end{equation} となる$\Delta$に対して \begin{eqnarray} \cos \beta_\oplus\cos \lambda_\oplus&=&x_{\oplus,\text{P}}/\Delta \nonumber \\ \cos \beta_\oplus\sin \lambda_\oplus&=&y_{\oplus,\text{P}}/\Delta \\ \sin \beta_\oplus&=&z_{\oplus,\text{P}}/\Delta \nonumber \end{eqnarray} となる。 \subsubsection{赤道座標への変換} 赤経$\alpha$，赤緯$\delta$と黄経$\lambda_\oplus$，黄緯$\beta_\oplus$の間は， \begin{eqnarray} \sin \delta&=&\sin \beta_\oplus\cos \epsilon+\sin \lambda_\oplus \cos \beta_\oplus \sin \epsilon \nonumber \\ \cos \alpha\cos \delta&=&\cos \lambda_\oplus\cos \beta_\oplus \\ \sin \alpha\cos\delta &=&-\sin \beta_\oplus\sin \epsilon+\sin \lambda_\oplus\cos \beta_\oplus\cos \epsilon \nonumber \end{eqnarray} の関係がある。これらはよく知られた球面天文学の公式であり，$\epsilon$は黄道面と赤道面のなす角である。$\epsilon$は \begin{equation} \tau=(JD-2452545)/36525 \end{equation} に対して \begin{eqnarray} \epsilon &=&23^\circ26'21.448''-46.8150''\tau-0.00059''\tau^2+0.001813''\tau^3 \nonumber\\ &=&23^{\circ}.439-0^{\circ}.0013\tau \end{eqnarray} と取る。 \subsubsection{地方赤道座標への変換} 地平座標に変換するために，時角$H$と赤緯$\delta$で表す地方赤道座標に直す。ここで時角$H=\Theta-\alpha$であり，地方恒星時$\Theta$は $\Theta=\Theta_0+1.00273791(t-9)+\lambda$で求められる（$t$は観測時刻，$\lambda$は観測地点の経度）。この$\Theta_0$は， \begin{equation} \Theta_0=6^{h}.697374558+2400^{h}.051337\tau+0^{h}.000025862\tau^{2}-0^{h}.000000001\tau^3 \\ \end{equation} である。（計算した後，$\Theta_0$は0h〜24hになるようにしておく。） \subsubsection{地平座標への変換} 我々が実際に観察するのはこの地平座標においてである。惑星の方位角$A$と高度$h$は，地方赤道座標の時角$H$，赤緯$\delta$からすぐに求められる。 ただしここでは，方位角$A$は真南より西回りで測っている。 \begin{eqnarray} \sin h&=&\cos H\cos \delta\cos\phi+\sin\delta \sin\phi \nonumber \\ \sin A \cos h&=&\sin H \cos\delta \\ \cos A \cos h&=&\cos H \cos\delta \sin\phi-\sin\delta \cos\phi \nonumber \end{eqnarray} ここで$\phi$は観察地の緯度の値であり，たとえば，金谷川キャンパスでの値（$\phi＝37^\circ 40'54''$）などを使用する。 \subsection{画面への表示に関して} \subsubsection{惑星の軌道及び軌道上の位置表示} 既述のように太陽を中心とする直交座標($x$,$y$,$z$)系においては， \begin{eqnarray*} x_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j}\cos \beta_{\odot ,\text{j}}\cos \lambda_{\odot,\text{j}} \\ y_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j}\cos \beta_{\odot,\text{j}}\sin \lambda_{\odot,\text{j}} \\ z_{\odot,\text{j}}&=&r_\text{j} \sin \beta_{\odot,\text{j}} \end{eqnarray*} であった。この直交座標上の位置により，各惑星の公転運動の様子を表す図を描画する。 この時，公転する惑星を見る視点を変えることができるように座標変換を行う。 まず，$z$軸を回転軸として反時計周りに$\lambda_\text{s}$だけ回転して($x'$,$y'$,$z'$)系をつくる。すると， \begin{eqnarray} x'&=&\quad x_{\odot,\text{j}}\cos \lambda_\text{s} +y_{\odot,\text{j}}\sin \lambda_\text{s} \nonumber \\ y'&=&-x_{\odot,\text{j}}\sin \lambda_\text{s}+y_{\odot,\text{j}}\cos \lambda_\text{s} \\ z'&=&\quad z_{\odot,\text{j}} \nonumber \end{eqnarray} である。続いて$x'$軸の周りに$\beta_\text{s}$だけ回転させた新しい($X$,$Y$,$Z$)系を取ると， \begin{eqnarray} X&=&\quad x' \nonumber \\ Y&=&\quad y'\cos \beta_\text{s}+z'\sin \beta_\text{s} \\ Z&=&-y'\sin \beta_\text{s}+z'\cos \beta_\text{s} \nonumber \end{eqnarray} これにより得られた$X$,$Y$,$Z$により，画面上の横軸，縦軸をそれぞれ$X$,$Y$軸，視線方向のこちら向きを$Z$軸の正の向きとして画面に描画する。 \subsubsection{惑星の見かけの位置変化} 天体をコンピュ−タの画面に表示するには，方位角$A$と高度$h$で与えられる天球上の位置にある恒星を平面上の所定の位置に投影する必要がある。ここでは “正距方位図法(Azimuthal Equidistant Projectionmethod)”に基づき，方位角$A_0$，高度$h_0$の点を中心とする見かけの平面に天球面を投影した時の 惑星の位置を求める。実際のシミュレ−ションでは，投影の中心として地平線上の南点（$A = 0^\circ$），北点（$A = 180^\circ$），東点（$A = 270^\circ$）， 西点（$A = 90^\circ$），および天頂（$h = 90^\circ$）の５点を選択表示する。 \subsubsection{正距方位図法} 天球面上の方位角$A$，高度$h$で与えられた位置にある恒星Pを平面上に投影するための変換方法である。正距方位図法にしたがって，方位角$A_0$，高度$h_0$の点Qを 中心とする平面に天球面を投影することとする。画面上の横軸，縦軸に相当する$\bar{x}$，$\bar{y}$軸をとり，中心Qから点Pまでの大円の弧の長さを$\bar{r}$， 大円と$\bar{x}$軸とのなす角を$\theta$とする。変換のための式を求めることは結局，ある球面三角形に対して基本公式を適用することになり，整理すると次の３本の 式が得られる。 \begin{eqnarray} \cos \bar{r}&=&\sin h\sin h_0+\cos h\cos h_0\cos (A-A_0) \nonumber \\ \sin \bar{r}\cos \theta&=&\cos h\sin(A-A_0) \\ \sin \bar{r}\sin \theta&=&\sin h\cos h_0-\cos h\sin h_0\cos (A-A_0) \nonumber \end{eqnarray} すると，投影の中心点Qを中心とする$\bar{x}$，$\bar{y}$座標上では，恒星Pは今求めた$\bar{r}$，$\bar{\theta}$に対して \begin{eqnarray} \bar{x}&=&\bar{r}\cos \theta \nonumber \\ \bar{y}&=&\bar{r}\sin \theta \end{eqnarray} で与えられる位置に投影される。 このようにして天球面上の任意の天体の位置を２次元の平面(パソコン画面)上に投影されることになる。 \subsubsection{恒星の導入} 明るい恒星に限って画面に表示することとする。恒星データは，Lang(1992)から取った。 表示する際の計算ステップは以下の通りである。\\ (1)データから黄道座標を読み込む\\ (2)赤道座標に変換する\\ (3)地方赤道座標に変換する\\ (4)地平座標に変換する\\ (5)正距方位図法によりパソコン画面上の位置を求める\\ 恒星の色と明るさの違いについては，画面上でもこれらの違いがわかるようにした。恒星の色の違いは スペクトル型に応じて(Ｒ, Ｇ,Ｂ) の数値により色付けした。具体的には，以下の通りとした。\\ \qquad Ｏ型・・明るい青 Ｂ型・・明るい水色\\ \qquad Ａ型・・明るい白 Ｆ型・・明るい黄色\\ \qquad Ｇ型・・少し暗い黄色 Ｋ型・・明るい赤\\ \qquad Ｍ型・・少し暗い赤\\ 恒星の明るさについては，実視等級の小数点以下を四捨五入し０〜４等級に分け，それぞれ大きさを変えることで表すことにした。 \subsubsection{太陽の見かけの運行の表示} 太陽についても，その位置の計算は恒星と同じと考えてよい。ただ，その位置が日々ずれていくことだけである。 太陽の見かけの運行を表示する際の計算ステップは以下の通りである。\\ (1)太陽に原点を持つ直角座標($x$,$y$,$z$)系において，太陽の座標を($x_{\odot},y_{\odot},z_{\odot}$)=($0,0,0$)として地心黄道座標を求める。\\ (2)赤道座標に変換する\\ (3)地方赤道座標に変換する\\ (4)地平座標に変換する\\ (5)正距方位図法によりパソコン画面上の位置を求める\\ また，太陽の高度$h$にしたがって空（背景）の明るさを変える。\\ $h\leq -18^\circ$・・・・・・・・・・・・完全な宵闇\\ $-18^\circ<h\leq-12^\circ$・・・・・薄明の空\\ $-12^\circ<h\leq -6^\circ$・・・・・やや薄暗い空\\ $-6^\circ<h$・・・・・・・・・・・・・・・昼間の空\\ \subsection{惑星の軌道を変える} 惑星の軌道要素７個のうち，ここでは \begin{description} \item \qquad $i$：軌道面傾斜角 \item \qquad $e$：軌道離心率 \item \qquad $a$：軌道長半径 \end{description} の３つを変えるものとする。 \subsubsection{軌道要素の変化} ケプラーの第３法則 \begin{equation} \frac{4\pi^2a^3}{P^2}=a^3n^2=G(M+m) \label{eq:kepler3} \end{equation} ただしMは太陽，mは惑星の質量である。 もし，$a$ を変化させると，上記のケプラーの第３法則(\ref{eq:kepler3}) にしたがって惑星の公転周期$P$も変わることになる。 \subsubsection{軌道面傾斜角$i$の変化} 傾斜角$i$のみを変えた場合には，軌道の形とその上での惑星の位置は変わらない。惑星どうしの相互作用は考えないので，惑星の力学的エネルギーと 角運動量も変化しない。よって，座標変換のみで太陽のまわりの位置や見かけの位置の変化が生じてくる。 \subsubsection{軌道長半径$a$の変化} 軌道長半径$a$を変えるときは，公転軌道の形状は変化せずサイズのみが変わるので，そのまま拡大，縮小して続けることになる。つまり，その瞬間の真近点離角$v$は そのままとする。惑星の力学的エネルギーと角運動量は当然ながら変化する。 \subsubsection{軌道離心率$e$の変化} 離心率$e$を変えると，軌道の形状や大きさなども変化する。太陽の位置や昇交点黄経，近日点引数などは変えないので，空間的な位置関係は変わらない。 ここでは変化の瞬間，真近点離角$v$が保存されるとした。 \subsubsection{惑星の力学的エネルギーと角運動量表示} 高校程度の物理分野の学習も念頭において，系の力学的エネルギー$W$と角運動量$L$を表示し，変化前後の違いに気づかせるために，そのためのwindow をつくる。 \subsubsection{惑星の力学的エネルギー} 太陽−惑星系の力学的エネルギー$W$は自転運動を無視するので，太陽の周りの公転運動に伴う運動エネルギーと位置エネルギー$U$の合計である。 太陽を中心とする惑星mの公転運動の速度$\vec{u}$は$\vec{r}\times \vec{\dot{v}}$で与えられ，$K=m|\vec{u}|^2/2$である。 一方，位置エネルギーは，$U=-G(M+m)m/r$である。 したがって，全エネルギーは \begin{equation} W=\frac{1}{2}mu^2-G\frac{(M+m)m}{r}\label{eq:energy} \end{equation} となる。 \begin{wrapfigure}{r}{8zw} \vspace*{-\intextsep} \includegraphics[width=5cm,clip]{軌道.eps} \end{wrapfigure} 図のように直交座標を取ると， \begin{eqnarray} x&=&a\cos E-ae \nonumber \\ y&=&a\sin E\sqrt{1-e^2} \label{eq:10} \end{eqnarray} また， \begin{eqnarray} x&=&r\cos v \nonumber \\ y&=&r\sin v \label{eq:20} \end{eqnarray} 式(\ref{eq:10})，(\ref{eq:20})より \begin{eqnarray} r\cos v&=&a\cos E-ae \label{eq:30}\\ r\sin v&=&a\sin E\sqrt{1-e^2} \label{eq:40} \end{eqnarray} (\ref{eq:30})，(\ref{eq:40})式の両辺を$t$で微分する。 \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}\cos v+r\frac{dv}{dt}(-\sin v) &=&a\frac{dE}{dt}(-\sin E) \label{eq:50}\\ \frac{dr}{dt}\sin v+r\frac{dv}{dt}\cos v &=&a\sqrt{1-e^2}\frac{dE}{dt}\cos E\label{eq:60} \end{eqnarray} (\ref{eq:50})の両辺に$\sin v$，(\ref{eq:60})の両辺に$\cos v$をそれぞれ掛けると， \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}\cos v\sin v-r\frac{dv}{dt}\sin ^2 v&=&-a\frac{dE}{dt}\sin E \sin v\label{eq:70} \\ \frac{dr}{dt}\sin v\cos v+r\frac{dv}{dt}\cos ^2 v&=&a\sqrt{1-e^2}\frac{dE}{dt}\cos E\cos v \label{eq:80} \end{eqnarray} (\ref{eq:80})-(\ref{eq:70})より， \begin{eqnarray} r\frac{dv}{dt}(\cos ^2v+\sin ^2v)=a\frac{dE}{dt}(\sqrt{1-e^2}\cos E\cos v+\sin E\sin v)\nonumber \\ r\frac{dv}{dt}=a\frac{dE}{dt}(\sqrt{1-e^2}\cos E\cos v+\sin E\sin v)\label{eq:90} \end{eqnarray} (\ref{eq:50})の両辺に$\cos v$，(\ref{eq:60})の両辺に$\sin v$をそれぞれ掛ける。 \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}\cos ^2v-r\frac{dv}{dt}\sin v\cos v&=&-a\frac{dE}{dt}\sin E\cos v \label{eq:100}\\ \frac{dr}{dt}\sin ^2v+r\frac{dv}{dt}\cos v\sin v&=&a\sqrt{1-e^2}\frac{dE}{dt}\cos E\sin v\label{eq:110} \end{eqnarray} (\ref{eq:100})と(\ref{eq:110})を辺々加えると， \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}(\cos ^2v+\sin ^2v)&=&a\frac{dE}{dt}(\sqrt{1-e^2}\cos E\sin v-\sin E\cos v) \nonumber\\ \frac{dr}{dt} &=&a\frac{dE}{dt}(\sqrt{1-e^2}\cos E\sin v-\sin E\cos v) \label{eq:120} \end{eqnarray} (\ref{eq:30})より， \begin{equation} \cos v=\frac{a\cos E-ae}{r} \label{eq:130} \end{equation} (\ref{eq:40})より， \begin{equation} \sin v=\frac{a\sin E\sqrt{1-e^2}}{r}\label{eq:140} \end{equation} (\ref{eq:30})，(\ref{eq:40})の両辺を自乗して辺々加えると， \begin{eqnarray} r^2(\sin ^2v+\cos ^2v)&=&a^2\cos ^2E+a^2e^2-2a^2e\cos E+a^2\sin ^2E(1-e^2) \nonumber\\ r^2 &=&a^2(1-e\cos E)^2 \end{eqnarray} ここで，$0\leq e<1$，$-1\leq \cos E\leq 1$より， \begin{equation} r=a(1-e\cos E)\label{eq:150} \end{equation} (\ref{eq:130})，(\ref{eq:140})，(\ref{eq:150})を(\ref{eq:90})，(\ref{eq:120})に代入する。\\ (\ref{eq:90})より， \begin{eqnarray} a(1-e\cos E)\frac{dv}{dt}&=&a\frac{dE}{dt}\left\{\sqrt{1-e^2}\cos E\left(\frac{a\cos E-ae}{r}\right)+\sin E\frac{a\sin E\sqrt{1-e^2}}{r}\right\}\nonumber\\ \frac{dv}{dt}&=&\frac{a\sqrt{1-e^2}}{r}\frac{dE}{dt} \label{eq:160} \end{eqnarray} (\ref{eq:120})より， \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}&=&a\frac{dE}{dt}\left\{ \sqrt{1-e^2}\cos E\left(\frac{a\sin E\sqrt{1-e^2}}{r}\right)-\sin E\left(\frac{a\cos E-ae}{r}\right)\right \}\\ &=&ae \sin E\frac{dE}{dt}\label{eq:170} \end{eqnarray} ここで，(\ref{eq:kintenrikaku})，(\ref{eq:kepler})より， \begin{equation} E-e\sin E=n(T-T_0)\nonumber \end{equation} 両辺を$t$で微分すると， \begin{eqnarray} \frac{dE}{dt}-\frac{dE}{dt}e\cos E&=&n \nonumber\\ (1-e\cos E)\frac{dE}{dt} &=&n \label{eq:180} \end{eqnarray} また，(\ref{eq:150})より， \begin{equation} 1-e\cos E=\frac{r}{a}\label{eq:190} \end{equation} (\ref{eq:180})，(\ref{eq:190})より， \begin{eqnarray} \frac{r}{a}\frac{dE}{dt}&=&n \nonumber\\ \frac{dE}{dt} &=&\frac{an}{r}\label{eq:200} \end{eqnarray} (\ref{eq:160})，(\ref{eq:200})より， \begin{eqnarray} \frac{dv}{dt}&=&\frac{a\sqrt{1-e^2}}{r}\frac{an}{r} \nonumber\\ &=&\frac{a^2n\sqrt{1-e^2}}{r^2} \label{eq:210} \end{eqnarray} (\ref{eq:170})，(\ref{eq:200})より， \begin{eqnarray} \frac{dr}{dt}&=&ae\sin E\frac{an}{r} \nonumber\\ &=&\frac{a^2en}{r}\sin E\label{eq:220} \end{eqnarray} ここで， \begin{equation} u^2=\left(\frac{dr}{dt}\right)^2+r^2\left(\frac{dv}{dt}\right)^2\nonumber \end{equation} であるので， (\ref{eq:210})，(\ref{eq:220})を代入して， \begin{eqnarray} u^2&=&\left(\frac{a^2en}{r}\sin E\right)^2+r^2\left(\frac{a^2n\sqrt{1-e^2}}{r^2}\right)^2 \nonumber\\ &=&\frac{a^4n^2}{r^2}(1-e^2\cos ^2E)\label{eq:230} \end{eqnarray} (\ref{eq:doukei})，(\ref{eq:150})より， \begin{eqnarray} a(1-e\cos E)&=&\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos v} \nonumber\\ \cos E &=&\frac{e+\cos v}{1+e\cos v} \label{eq:240} \end{eqnarray} (\ref{eq:240})を(\ref{eq:230})に代入すると， \begin{equation} u^2=a^2n^2\frac{1+2e\cos v+e^2}{1-e^2}\label{eq:241} \end{equation} ところで，軌道上において角運動量$h$が一定であることより， \begin{equation} h=r^2\frac{dv}{dt}\nonumber \end{equation} (\ref{eq:210})を代入すると， \begin{equation} h=a^2n\sqrt{1-e^2}\nonumber \end{equation} ここで(\ref{eq:kepler3})より， \begin{equation} a^2n=\sqrt{G(M+m)a}\label{eq:250} \end{equation} よって， \begin{equation} h=\sqrt{G(M+m)a(1-e^2)}\label{eq:260} \end{equation} (\ref{eq:energy})に(\ref{eq:241})を代入すると， \begin{equation} W=m\left\{\frac{1}{2}a^2n^2\frac{1+2e\cos v+e^2}{1-e^2}-G(M+m)\frac{1+e\cos v}{a(1-e^2)} \right\} \end{equation} (\ref{eq:250})より， \begin{equation} a^2n^2=\frac{G(M+m)}{a} \end{equation} 代入して整理すると， \begin{equation} W=-\frac{G(M+m)m}{2a}\label{eq:270} \end{equation} すなわち$W$$\propto$$a^{-1}$であり，$e$には依らない。 \subsubsection{惑星の角運動量} 自転運動を考えないので，太陽の周りの惑星の公転運動に伴う軌道角運動量$\vec{L}$だけである。$\vec{L}$は次の式で表される。 \begin{equation} \vec{L}=m\vec{r}\times \vec{u} \\ \end{equation} $\vec{L}$の$x$成分と$y$成分は$0$であるので， \begin{eqnarray} \vec{L}&=&m(0,0,x\frac{dy}{dt}-y\frac{dx]{dt}) \nonumber \\ L_z&=&mr^2\dot{v} \end{eqnarray} したがって，最終的な角運動量の大きさは \begin{equation} L=\sqrt{G(M+m)}m\sqrt{a(1-e^2)} \label{eq:momentum} \end{equation} である。 すなわち，$L\propto a^{1/2}$かつ，$L\propto (1-e^2)^{1/2}$である。 つまり，おなじ$a$に対しては，$e\nearrow 1$であれば，$L\searrow 0$であり，同じ$e$に対しては，$a\nearrow $であれば$L\nearrow$である。別の言い方をすると， エネルギーは持っているが角運動量が小さなシステムは，離心軌道を取るということである。 \subsubsection{全エネルギーと角運動量が与えられた惑星の取るべき軌道} 今度は逆に，太陽- 惑星系の力学的エネルギー$W$と角運動量$L$が与えられた場合の，その惑星の取るべき軌道を考えてみる。 式(\ref{eq:energy})と(\ref{eq:momentum}) から逆に$a$，$e$を解いてみると， \begin{equation} a=\frac{G(M+m)m}{2(-W)} \end{equation} また，$L^2=G(M+m)m^2a(1-e^2)$から \begin{eqnarray} 1-e^2&=&\frac{L^2}{G(M+m)m^2a} \nonumber \\ &=&\frac{2(-W)L^2}{G^2{(M+m)}^2m^3} \end{eqnarray} となる。 つまり，ある与えられた全エネルギーに対応する大きさの軌道を取り（エネルギーが高いほど大きな，太陽から遠い軌道となり），それに対して十分な角運動量が 与えられれば円（ないしはそれに近い）軌道となり，不十分であればあるほど離心軌道となることがわかる。ちなみに，ある軌道に対して持ちうる最大の角運動量は $e=0$から \begin{equation} L_{max}=G(M+m)m\sqrt{\frac{m}{2(-W)}} \end{equation} である。 \subsubsection{変化前後のサイズ} 軌道の大きさに比べて，表示する天体の大きさはわざと大きく取るが，太陽を例外として，惑星間の相対的大きさは正しい比率に取るものとする。 表示する際の大きさは，そのままの縮尺サイズで行う。地球からの眺めの場合は，地球からの距離の逆２乗に比例させる。 \subsubsection{変化前後の見かけの明るさ} 惑星の見かけの明るさには， \begin{itemize} \item 惑星−太陽間の距離$d_1$ \item 惑星−地球間の距離$d_2$ \item 惑星の面積$S$ \item 光って見える部分の割合：輝面比$k$ \item 反射率:アルベド $A$ \end{itemize} などが関係する。ここで惑星の光の反射は一様であるとし，周辺減光limb-darkening は考えないとする。すると，地球への光の到達量$B$は， \begin{equation} B\propto\frac{SkA}{d_{1}^{2}d_{2}^{2}} \label{eq:light} \end{equation} である。惑星Pが太陽の放射をどれだけ受けるかは，太陽との距離$d_1$の２乗に反比例する。 \begin{equation} d_1=\sqrt{x_{\text{j}}^{2}+y_{\text{j}}^{2}+z_{\text{j}}^{2}} \end{equation} ここで，($x_\text{j},y_\text{j},z_\text{j}$)は式(\ref{eq:wakuseizahyou})で求まっている。一方，惑星−地球間の距離$d_2$は \begin{equation} d_2=\sqrt{{(x_\text{j}-x_\oplus )}^2+{(y_\text{j}-y_\oplus )}^2+{(z_\text{j}-z_\oplus )}^2} \end{equation} となる。 \subsubsection{惑星の表面積と反射率} 理科年表2007 版より該当数値を採る。ここには，地球を１とした時の各惑星の太陽から受ける輻射量が掲載されている。 \subsubsection{惑星の被照射部分の見え方} 惑星が太陽から照射されている部分は概ね半球である。そのうちどれだけが地球から見えているかが惑星の明るさを計算する際に重要である。太陽−惑星−地球がつくる 平面内で考えてみると，惑星の中心から見た時の地球と太陽がなす角$\psi$は，平面三角法を利用して求めることができる。 \begin{center} \includegraphics*[width=10cm,clip]{輝面比.eps} \end{center} 平面三角の公式から \begin{eqnarray} d_3^2 &=&d_1^2+d_2^2-2d_1d_2\cos \psi \nonumber \\ \cos \psi &=&\frac{d_1^2+d_2^2-d_3^2}{2d_1d_2} \end{eqnarray} この$\psi$を使うと， \begin{equation} k=\frac{1+\cos \psi}{2} \end{equation} と求まる。 \subsubsection{惑星の表示} 明るさの基準となる表示を決めておく必要がある。地球と同じ表面積の天体がアルベド１で，輝面比1，太陽からも地球からも１ＡＵにある時の明るさを$B_0$とする。 すると，式(\ref{eq:light})より \begin{equation} B=B_0\frac{SkA}{{(\frac{d_1}{1AU})}^2({\frac{d_2}{1AU})}^2} \end{equation} となる。この$B_0$を画面上では適当な明るさに(RGBの数値で)指定すればよい。 \end{document}
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