名前: みかん 日時: 2005-01-03 20:49:34 IPアドレス: 61.115.158.*
以下のようなエラーがでました。 そのために、ＤＶＩファイルが開けません。 どなたかご教授ください。 私は全くの初心者で、よく意味がわかりません。 This is pTeX, Version 3.141592-p3.1.3 (sjis) (Web2C 7.5.2) (./卒論１.tex pLaTeX2e <2001/09/04>+0 (based on LaTeX2e <2001/06/01> patch level 0) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/ptex/platex/base/jarticle.cls Document Class: jarticle 2001/10/04 v1.3 Standard pLaTeX class (c:/USR/LOCAL/share/texmf/ptex/platex/base/jsize10.clo)) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/psnfss/mathpazo.sty) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/psnfss/helvet.sty (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/graphics/keyval.sty)) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/txr/txfonts.sty) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/amslatex/amsmath.sty For additional information on amsmath, use the `?' option. (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/amslatex/amstext.sty (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/amslatex/amsgen.sty)) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/amslatex/amsbsy.sty) (c:/USR/LOCAL/share/texmf/tex/latex/amslatex/amsopn.sty) ! LaTeX Error: Command \iint already defined. Or name \end... illegal, see p.192 of the manual. See the LaTeX manual or LaTeX Companion for explanation. Type H <return> for immediate help. ... l.506 ...d{\iint}{\DOTSI\protect\MultiIntegral{2}} ? ! Emergency stop. ... l.506 ...d{\iint}{\DOTSI\protect\MultiIntegral{2}} No pages of output. Transcript written on 卒論１.log. 今、作っている文章は↓です。 \documentclass{jarticle} \usepackage{mathpazo} \usepackage[scaled]{helvet} \usepackage{txfonts} \usepackage{amsmath} \begin{document} \section{GROUPS, SUBGROUPS, AND HOMOMOMORPHISM} {\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{semigroup}}（半群）：二項演算，結合法則を満たす空でない集合 {\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{monoid}}（モノイド）$S$：$\forall x \in S$に対して$1x=x1=x$を満たす {\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{identity element}}（単位元）1が存在する半群 \textsf{Proposition1.1}モノイド$S$の単位元は一意的である。 \textit{Proof.} $1$と$e$を$S$の単位元とする。 まず$1$が単位元であるから$1e=e$ 一方$e$も単位元であるから$1e=e$ したがって$e=1$ $q.e.d.$ {\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{group}}（群）$G$：結合法則（{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{multiplication}}（乗法）） と$\forall x \in G$に対して$\exists y\in G$ s.t. $xy=yx=1$を満たす集合 この$y$を{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{inverse element}}（逆元）という。 \textsf{Proposition1.2}群$G$の元$x$に対して，その逆元はただ１つ存在する。 \textit{Proof.} $y,z\in G$をともに$x$の逆元とする。 まず$y$が逆元であるから$xy=yx=1$ 一方$z$も逆元であるから$xz=zx=1$ $y=y1=y(xz)=(yx)z=1z=z$ したがって$y=z$ $q.e.d.$ 群$G$の元$x$の逆元を$x^{-1}$と書く。$(x^{-1})^{-1}=x$である。 \textsf{Proposition1.3}$x,y$を群$G$の元とするとき，$(xy)^{-1}=y^{-1}x^{-1}$である。 \textit{Proof.} $(xy)(y^{-1}x^{-1})=\bigl((xy)y^{-1}\bigr)x^{-1}=\bigl(x(yy^{-1})\bigr)x^{-1}=(x1)x^{-1}=xx^{-1}=1$ $(y^{-1}x^{-1})(xy)=\bigl((y^{-1}x^{-1})x\bigr)y=\bigl(y^{-1}(x^{-1}x)\bigr)y=(y^{-1}1)y=y^{-1}y=1$ よって$y^{-1}x^{-1}$は$xy$の逆元である。 $q.e.d.$ 群$G$の二項演算が加法で書かれているとき，普通，加法単位元は$0$で表す。また，$x$の逆元は$-x$で表す。 また，$x$の逆元は$-x$で表す。加法の表記として，$\forall x,y\in G$に対して$x+y=y+x$と書くことは習慣的なことである。 {\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{abelian}}（アーベル群）：$\forall x,y\in G$に対して$xy=yx$（\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{commutative}（可換））を満たす群$G$（乗法） $x^0=1, x^1=x, x^2=xx, \dots, x^n=x^{n-1}x$（$1\leq n\leq \mathbb{Z}$）と書き，（$1\leq n\leq \mathbb{Z}$）に対して$x^{-n}=(x^{-1})^n$と定義する。 $\forall x \in G, \forall m,n\in \in \mathbb{Z}$に対して指数法則$x^mx^n=x^{m+n}$と$(x^m)^n=x^{mn}$が成り立つ。 なぜなら，$x^mx^n=(\overbrace{x \dots x}^{m})(\overbrace{x \dots x}^{n}=x^{m+n}$であり， $(x^m)^n=\underbrace{(\overbrace{x \dots x}^{m})\dots (\overbrace{x \dots x}^{m})}_{n}=x^{mn}$であるからだ。（Exercise1.1） 加法では，$nx$が$x^n$に類する。つまり，$0x=0, 1x=x, 2x=x+x, \dots , nx=(n-1)x+x$であり，$(-n)x=n\cdot (-x)$である。 したがって，$mx+nx=(m+n)x$と$n(mx)=(mn)x$が指数法則に類する。 EXAMPLES １．$G=\{1,-1\}\subseteq \mathbb{R}$において，乗法が与えられているとき，$G$は群である。 ２．$G=\mathbb{Z}, \mathbb{Q}, \mathbb{R}, \mathbb{C}$において，乗法が与えられているとき，$G$は群である。 ３．$G=\mathbb{Q}-\{0\}$で，乗法が与えられているとき，$G$は群である。 ４．$S$を空でない集合とする。$S$の{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{permutation}}（置換）（{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{bijection}}とも言う）とは， $S$から$S$への上への１対１写像$\phi $である。$G$を$S$の置換全体の集合とする。$\phi ,\theta \in G$とする。 $\phi \theta $に{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{composition}}，即ち，$\forall x\in S$に対して$\phi \theta (s)=\phi \bigl( \theta (s)\bigr)$を定義する。 compositionは$G$上の二項演算，それは交換法則である。$\phi ,\theta ,\sigma \sigma \in G, s\in S$とすると， $\bigl( \phi (\theta \sigma )\bigr)(s)=\phi \bigl( \theta \sigma (s)\bigr) =\phi \Bigl[ \theta \bigl( \sigma (s)\bigr) \Bigr]$， $\bigl( (\phi \theta )\sigma \bigr) (s)=\phi \theta \bigl(\sigma (s)\bigr) =\phi \Bigl[ \theta \bigl( \sigma (s)\bigr) \Bigr]$である。 $G$には単位元，$1(s)=s$によって定義される逆写像$\phi ^{-1}(s_1)=s_2$によって定義される逆写像$\phi ^{-1}$がある。 $\phi ^{-1}(s_1)=s_2$は$\phi (s_2)=s_1$と同値である。 したがって，$G$は群である。$G=\mathrm{Perm}(s)$と書く。 ５．前述の例の特別の場合として，$S=\{1, 2, 3, \dots , n\}$を考える。$S$の置換全体の群$G$を{\usefont{T1}{ppl}{b}{n}{symmertric group}}（ｎ次の対称群） と言い，$G=S_n$で表す。$\phi \in S_n$のとき， $\phi =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 & \dots & n \\ \phi (1) & \phi (2) & \phi (3) & \dots & \phi (n) \end{smallmatrix} \bigr)$と表す。 例えば，$n=3$のとき，$\phi =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{smallmatix} \bigr)$， $\theta =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatix} \bigr)$のときの計算を示す。 例４の$\phi \theta $の定義のように，最初に$\theta $，次に$\phi $をほどこす。 したがって，$\phi \theta =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{smallmatix} \bigr) \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatix} \bigr) =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 2 \end{smallmatix} \bigr)$。 $\theta \phi =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \end{smallmatix} \bigr) \bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 1 \end{smallmatix} \bigr) =\bigl( \begin{smallmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 1 & 3 \end{smallmatix} \bigr) \neq \phi \theta $であるから，$S_3$はアーベル群でない。 同様に，$n\geq 3$のとき，$S_n$は \end{document}
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