名前: ハタ 日時: 2003-08-03 11:59:47 IPアドレス: 219.167.181.*
以前は表示できていたし、変更もおこなってないのですが、思い当たることはネット上に あるゲームをいくつかインストールしたくらいですね それで何かシステムが変わったんでしょうか？ こんなエラーメッセージがでます This is PTeX, C Version 2.99 j1.7 p1.0.9G (no format preloaded) (数理計画.tex ! Undefined control sequence. l.1 \documentstyle {jarticle} ? TEXファイルのコピーは下のものです \documentstyle{jarticle} \setlength{\oddsidemargin}{-1in} \addtolength{\oddsidemargin}{15mm} \setlength{\textwidth}{179mm} \setlength{\topmargin}{-1in} \addtolength{\topmargin}{15mm} \setlength{\headheight}{0mm} \setlength{\headsep}{0mm} \setlength{\textheight}{260mm} \setlength{\footskip}{10mm} \setlength{\footheight}{0mm} \setlength{\parindent}{0mm} \begin{document} % \begin{center} {\LARGE{\bf 数理計画}} \end{center} {\large{\bf 1 数理計画モデル}} \\[10pt] 1.1 線形計画モデル \\ 生産計画問題\\ ある食品加工会社は，３種類の原料A,B,Cを用いて、製品$p,q,r$を生産している．これらの製品による最大の利益を上げるための生産計画問題を考える。\\ まず、この問題を数学モデルとして定式化するためには変数を決める必要がある。そこで、各製品の生産量を$x_{1},x_{2},x_{3}$と表すことにする。今、製品を1単位生産するごとに得られる利益は、それぞれ100円,200円,300円とすれば、総利益は \begin{eqnarray} 100x_{1}+200x_{2}+300x_{3} （円） \end{eqnarray} となり、この値を最大にすることが目的なので、問題の目的関数と言う。\\ 次に、各製品を1単位生産するのに必要な原料は、$p$が、A,B,Cの順に、3,6,6単位で $q$が、3,2,9単位で、$r$が、9,12,8単位である。\\ さらに、この加工会社における、原料の利用可能量が決められており、A,B,Cの順に、60,70,80単位であるとする。このことから以下の不等式が成り立たなければならない。\\ \begin{eqnarray} 3x_{1}+3x_{2}+9x_{3}\leq60 \\ 6x_{1}+2x_{2}+12x_{3}\leq70 \\ 6x_{1}+9x_{2}+8x_{3}\leq80 \end{eqnarray} ここで、当然ながら各製品の生産量は0以上であるため \begin{eqnarray} x_{1}\geq0、x_{2}\geq0、x_{3}\geq0 \end{eqnarray} でなければならない。(2)式から(5)式までがこの問題の、変数$x_{1},x_{2},x_{3}$における制約条件である。\\ 以上のことから、この生産計画問題は上の制約条件のもとに、(1)式の目的関数が最大になるような変数$x_{1},x_{2},x_{3}$の値を求める問題に定式化できる。\\ このような、変数に関する1次の等式や不等式で与えられた制約条件のもとで、変数の1次関数を最大化、または最小化する問題を線形計画問題と言う。\\[10pt] 1.2 非線形計画モデル \\ ポートフォリオ選択問題\\ この場合のポートフォリオとは、株式や証券などの資産を組み合わせたものとして使う。\\ 今、ある資産家が、持っている資産$w$円を3種類の株式$a_{1},a_{2},a_{3}$に分けて投資をしようとしている。投資期間は1月間で、それらの株式の1株あたりの現在価格はそれぞれ、$X_{1},X_{2},X_{3}$円である。1ヶ月後の各株式の価格は未知であるため、それらを確率変数と考え$x_{1},x_{2},x_{3}$円で表す。3種類の各株式に投資する額は$r_{1},r_{2},r_{3}$円とすれば、 \begin{eqnarray} r_{1}+r_{2}+r_{3}=w、r_{1},r_{2},r_{3}\geq0 \end{eqnarray} であり、さらに1ヶ月後の資産の総和はWで表すと \\ \begin{eqnarray} W=\frac{x_{1}r_{1}}{X_{1}}+\frac{x_{2}r_{2}}{X_{2}}+\frac{x_{3}r_{3}}{X_{3}} \end{eqnarray} となるので、(6)式を考慮し、得られる利益をVで表すと \begin{eqnarray} V&=&W-w \\ &=&\frac{x_{1}r_{1}}{X_{1}}+\frac{x_{2}r_{2}}{X_{2}}+\frac{x_{3}r_{3}}{X_{3}}-w\\ &=&\frac{x_{1}-X_{1}}{X_{1}}r_{1}+\frac{x_{2}-X_{2}}{X_{2}}r_{2}+\frac{x_{3}-X_{3}}{X_{3}}r_{3} \end{eqnarray} と表せる。ここで \begin{eqnarray} A_{i}=\frac{x_{i}-X_{i}}{X_{i}}\qquad （i=1,2,3） \end{eqnarray} とおけば、(10)式は \begin{eqnarray} V=A_{1}r_{1}+A_{2}r_{2}+A_{3}r_{3} \end{eqnarray} と簡潔に表される。\\ $A_{i}$は、各株式の単位投資額あたりの儲けを表す確率変数であり、各株式における収益率である。\\ 投資家は、(12)式で表される1ヶ月後の利益$V$が最大となるように投資を行おうとするが、利益$V$もまた、確率変数であるからこのまま取り扱えない。よってこのような意思決定問題を定式化するためには、期待効用理論に基づく最適化規範を導入する。これにより、投資家の満足度の大きさは効用関数と呼ばれる関数で、$U(V)$により表わされる。この場合、効用関数は、得られる利益が多いほど投資家の満足度も大きいと考えられるため、単調増加であるが、上に凸な関数である。なぜなら同じ1万円増えるにしても、100万円から101万円より、10万円から11万円に増えるほうが満足度が高いはずであるからだ。\\ 上記のような効用関数を用いると、投資家にとって最適なポートフォリオを選択する問題は、(6)式を満たす$r=(r_{1},r_{2},r_{3})^T$の中から、効用関数の期待値 \\ \begin{eqnarray} E｛U(V)｝=E｛U(A_{1}r_{1}+A_{2}r_{2}+A_{3}r_{3})｝ \end{eqnarray} が最大にとなるようなものを求める問題として定式化できる。また効用関数がこの問題のように非線形関数のときには、上式で定義される目的関数も非線形となるので、非線形計画問題と呼ばれている。\\[20pt] {\large{\bf 2 非線形計画法}} \\[10pt] 2.1 非線形計画法の考え方\\ 非線形計画法とは非線形計画問題を解いたり、分析したりする方法の総称である。前章で少し触れたが、非線形計画問題とは非線形関数の最小(最大)を求める問題であり、変数の数は通常は複数で、変数のとり得る値に何らかの制約が課せられることも多くある。\\ 数学で使われる「非線形」とは、線形に非ず、というよりも線形とは限らないと言う意味で用いられるのが普通である。つまり、非線形計画問題とは、線形でない関数を含んでかもしれない問題ということである。したがって、最小化すべき関数（目的関数）がすべて線形（1次）である線形計画問題は、非線形計画問題の特殊な場合と見なすここができる。このことから、非線形計画問題に対して成立する事柄は線形計画問題に対しても成立し、非線形計画問題の解法は、線形計画問題の解を計算するためにも利用できることを示している。\\ 一般に非線形関数の形は、地図の等高線のように山あり谷あり、その山や谷もあちこちに点在しているのが普通である。そして、ある点の十分近くに限定すれば、それが最も低い点であるようなものを「局所的最小」と呼び、さらに、すべての局所的最小の中で最小であるような点を「大域的最小」と呼ぶ。しかし、一般の非線形関数に関しては、大域的最小を見つける手段はないに等しく、局所的最小をいかに効率よく探すかが最大の関心と言える。つまり、特に断らない限り、最小とは局所的最小を指している。実用上は、それで十分満足のいく解であるので、大抵の場合それで良しとなるのである。 \end{document}
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