（二封筒の問題の続き）
問題を整理しよう。スワミは金額 $x$，$2x$ の封筒を用意した。$x$ はわからない。つまり，この問題の隠れたパラメータは $x$ である。あなたの封筒に入っていた金額 $y$ は，パラメータ $x$ に依存する測定値である。この問題の数理モデルは，$x$ が与えられればそれぞれ確率 1/2 で $y = x$ または $y = 2x$ を得ることである。そして，われわれの仕事は，データ $y$ からパラメータ $x$ を推定することである。
具体的に，あなたの封筒に $y = 1000$ 円入っていたとしよう。すると，$x = 500$（このとき，もう一方の封筒には500円入っている）または $x = 1000$（このとき，もう一方の封筒には2000円入っている）のどちらかである。$x = 500$，$x = 1000$ の事前確率をそれぞれ $p$，$q$ としよう。モデルから，$y$ について可能な値は3通りある：
| $y=500$ | $y=1000$ | $y=2000$ | |
|---|---|---|---|
| $x=500$ | $p/2$ | $p/2$ | |
| $x=1000$ | $q/2$ | $q/2$ |
ここで封筒を開けて $y = 1000$ が観測されたとすると，$x = 500$ の確率と $x = 1000$ の確率の比は $p : q$ である。つまり，相手の封筒の中身が500円，2000円である確率の比は $p : q$ である。その期待値があなたの持っている1000円と等しくなるのは
\[ \frac{500p + 2000q}{p+q} = 1000 \]のときである。これを解けば，$p : q = 2 : 1$ となる。つまり，パラドックスを起こさないパラメータ $x$ の事前分布は
\[ p(x) \propto \frac{1}{x} \]のようにスケールすればよい。スワミが投資額を2倍にする確率は半分である。
この分布は，拙著『Rで楽しむベイズ統計入門』p.99でベンフォードの法則に関連して書いた $\log x$ について一様な事前分布である（$d\log x = dx/x$ であるので $x$ についての事前分布 $p(x)$ は $1/x$ に比例する）。$x > 0$ という制約以外に何の条件もない場合には，この事前分布が最も自然であることが多い。この二封筒の問題は，このことの証拠の一つとなりうるという点で，たいへん興味深いものである。
もちろんこれ以外の考え方もありうるであろう。それに，スワミはこれ以外の事前分布で $x$ を決めようとするかもしれない。$p(x) \propto 1/x$ より平坦な分布であれば，交換するほうが期待値として得である。ただし，その場合は，無条件に交換するのではなく，封筒を開いて金額 $y$ を確認し，それがあまり高額であれば，もう一人にその倍の金額を渡している可能性は低い（スワミの財力に限度がある）と考えられるので，交換しないほうがよいかもしれない。