符号検定

Rの符号検定とWilcoxonの符号付き順位検定の符号検定をPythonにしたものです。

10人の患者にある睡眠薬を飲ませたところ，睡眠時間がそれぞれ次の時間だけ増えました (Arthur R. Cushny and A. Roy Peebles, The Journal of Physiology 32, 501-510 (1905)):

1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4

つまり，10個のうち負の値は1個だけで，残り9個は正です。正・負の符号の付き方は全部で $2^{10} = 1024$ 通りあり，そのうちで

• すべて正になる場合は $_{10}C_0 = 1$ 通り
• 一つだけ負になる場合は $_{10}C_1 = 10$ 通り
• 二つだけ負になる場合は $_{10}C_2 = (10 \times 9) / (2 \times 1) = 45$ 通り

等々のように場合分けできます。すべての場合を合計すると，当然ですが $2^{10} = 1024$ になります。

もし正になる確率と負になる確率が同じなら，

• すべて正になる確率は 1/1024
• 一つだけ負になる確率は 10/1024
• 二つだけ負になる確率は 45/1024

となるはずです。実際のデータは10個のうち一つだけ負ですので，このようになる確率と，もっと極端な（すべて正になる）確率を合計すれば，10/1024 + 1/1024 = 11/1024 です。逆に，すべて負になる確率と，一つだけ正になる確率を合計すれば，やはり 10/1024 + 1/1024 = 11/1024 です。そこで，10個のうち1個以下の符号が他と異なる確率は，22/1024 で，$p$ 値は約0.02です。つまり，偶然では50回に1回しか起きない事象です。

このような検定法を符号検定（sign test）といいます。

符号検定では，差が 0 のデータは外して考えます。

一般に，0でない数が n 個あって，そのうち m 個が正（または負）であるなら，scipy.stats.binomtest で符号検定できます。例えば上の例の場合は

import numpy as np
from scipy import stats

x = np.array([1.9, 0.8, 1.1, 0.1, -0.1, 4.4, 5.5, 1.6, 4.6, 3.4])

stats.binomtest(np.sum(x > 0), np.sum(x != 0))

BinomTestResult(k=1.0, n=10.0, alternative='two-sided', statistic=0.1, pvalue=0.021484375)

で，$p = 0.02148$ となります。