体重は身長の3乗に比例しそうだが，BMIは体重÷身長の2乗であるので，体重は身長の2乗に比例するのであろうか。
成人の男女別のデータがあればよいのだが，Kaggleでも乱数で生成したらしいものしか見つからない（そうでないのがあったら教えてください）。そこで，e-Statで「身長と体重の相関表 平成３１年度」を検索して出てくる唯一のExcelファイルを使って，一番大きい年齢層（17歳）の男女別の身長・体重の関係を調べる。ひどいExcelファイルで，うまく印刷できるように2シートに分けてあるので，別々に読んで結合しなければならない。
まず男子。
import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
df1 = pd.read_excel("h30_hoken_eturan_01.xlsx", "10-020",
skiprows=[0,1,2,4], na_values="-")
df2 = pd.read_excel("h30_hoken_eturan_01.xlsx", "10-021",
skiprows=[0,1,2,4], na_values="-")
df = pd.concat([df1.iloc[0:46, 3:35], df2.iloc[0:46, 2:34]], axis=1)
df = df.fillna(0) # 行145..190cm 列37..100kg
height = []
weight = []
for i in range(46):
for j in range(64):
n = int(round(df.iloc[i,j] * 10))
height = np.append(height, [i+145] * n)
weight = np.append(weight, [j+37] * n)
rng = np.random.default_rng()
def jitter(x):
return x + rng.random(len(x)) - 0.5
plt.figure(figsize=[7, 7])
plt.plot(jitter(height), jitter(weight), ".")
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("weight (kg)")
plt.title("17歳 男")
plt.savefig('191027a.png', bbox_inches="tight")
相関係数
np.corrcoef([weight, height, height**2, height**3, height**4])
は
array([[1. , 0.42350688, 0.42390102, 0.42405993, 0.42398417],
[0.42350688, 1. , 0.99970906, 0.99883893, 0.99739424],
[0.42390102, 0.99970906, 1. , 0.99971011, 0.99884296],
[0.42405993, 0.99883893, 0.99971011, 1. , 0.99971108],
[0.42398417, 0.99739424, 0.99884296, 0.99971108, 1. ]])
となり，3乗の相関が一番大きいが，違いはほとんどない。
女子。
df1 = pd.read_excel("h30_hoken_eturan_01.xlsx", "10-041",
skiprows=[0,1,2,4], na_values="-")
df2 = pd.read_excel("h30_hoken_eturan_01.xlsx", "10-042",
skiprows=[0,1,2,4], na_values="-")
df = pd.concat([df1.iloc[0:43, 3:33], df2.iloc[0:43, 2:30]], axis=1)
df = df.fillna(0) # 行136..178cm 列33..90kg
height = []
weight = []
for i in range(43):
for j in range(58):
n = int(round(df.iloc[i,j] * 10))
height = np.append(height, [i+136] * n)
weight = np.append(weight, [j+33] * n)
plt.clf()
plt.plot(jitter(height), jitter(weight), ".")
plt.xlabel("height (cm)")
plt.ylabel("weight (kg)")
plt.title("17歳 女")
plt.savefig('191027b.png', bbox_inches="tight")
np.corrcoef([weight, height, height**2, height**3, height**4])
array([[1. , 0.43228155, 0.43256623, 0.43261141, 0.43241617],
[0.43228155, 1. , 0.99972306, 0.99889131, 0.9975034 ],
[0.43256623, 0.99972306, 1. , 0.99972231, 0.99888773],
[0.43261141, 0.99889131, 0.99972231, 1. , 0.99972126],
[0.43241617, 0.9975034 , 0.99888773, 0.99972126, 1. ]])
こちらも3乗の相関が一番大きいが，違いはほとんどない。
分布の形から見て女子のデータのほうがサチってないので，こちらで計算を続けると，分布が左右対称であれば歪度（skewness）は 0 になるはずであるので，調べてみる：
pd.DataFrame(height).skew() # 0.092451
pd.DataFrame(height**3).skew() # 0.293783
pd.DataFrame(weight).skew() # 1.077402
pd.DataFrame(weight**(1/2)).skew() # 0.765789
pd.DataFrame(weight**(1/3)).skew() # 0.668884
pd.DataFrame(weight**(1/4)).skew() # 0.621595
pd.DataFrame(weight**(1/100)).skew() # 0.4894
pd.DataFrame(np.log(weight)).skew() # 0.484013
身長はほぼ歪度 0 であるが，体重は3乗根にしても100乗根にしても歪度 0 にならない。体重は身長の3乗（2乗？）に比例するので正規分布から外れるといった説明は，正しくなさそうである。