超簡単なウェーブレット

多重解像度解析

　データ―→低周波成分→低周波成分→低周波成分
　　↓　　　　　↓　　　　　↓　　　　　↓　　……
高周波成分　高周波成分　高周波成分　高周波成分

Lifting

1. 両側からの予測誤差符号化（ハイパスフィルタ）
   奇数番目のデータを偶数番目のデータで予測し，予測誤差を奇数番目に上書きする

   x'_2i+1 = x_2i+1 - (x_2i + x_2i+2) / 2

   

   これは次のハイパスフィルタと同値

   x'_i = -0.5 x_i-1 + x_i - 0.5 x_i+1

2. 平滑化（ローパスフィルタ）

   偶数番号のデータの平均値が元の全データの平均値と等しくなるようにするために，上で求めた予測誤差÷4を偶数番目のデータに加える

   x'_2i = x_2i + (x'_2i-1 + x'_2i+1) / 4

   これは次のローパスフィルタと同値

   x'_2i = -(1/8) x_2i-2 + (1/4) x_2i-1 + (3/4) x_2i + (1/4) x_2i+1 - (1/8) x_2i+2

ローパスフィルタの出力（個数は半分）に対して同じことを繰り返し適用する。

利点

• 簡単・並列化可能
• 余分な配列が不要
• 上の操作を逆向きに適用すれば逆変換になる

  x_2i = x'_2i - (x'_2i-1 + x'_2i+1) / 4
  x_2i+1 = x'_2i+1 + (x_2i + x_2i+2) / 2

• 整数除算や，[-128,127]に収める操作（剰余演算）をしても，上の性質は変わらない（ロスレス）

1次元の例

単純な 予測誤差符号化 と比較すべし。

2次元の例

↓

↓

↓

奥村晴彦

Last modified: 2004-05-26 16:54:36