Ajax（エイジャックス）とは Asynchronous JavaScript + XML を縮めて作った語で， Google Suggest や Google Maps などで使われていた技術を指すために J. J. Garrett が2005年に Ajax: A New Approach to Web Applications という文書で初めて使いました。AJAX と書く人もいるようですが，上の文書に従ってここでは Ajax と書きます。
簡単に言えば，Ajax は Web ブラウザの中で JavaScript を使ってサーバと非同期（asynchronous）通信をすることです。任意の時刻にブラウザからサーバにリクエストを送って，その応答に従ってページの一部をダイナミックに書き換えます。非同期ですので，サーバから返事が来るのを待たなくても他の処理をすることができます。サーバから返事が来れば，あらかじめ用意した関数（コールバック関数）が非同期に呼び出されます。
昔はXMLHttpRequest（XHR）を使う方法しかありませんでした。けっこう複雑なので，jQueryなどのライブラリを経由して使ったりしました。最近のブラウザではより簡単なfetch()という関数でAjaxができるようになりました。