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\titleformat{\section}{\normalfont\Large\bfseries}{\S\thesection}{1em}{}[]
\newtheorem{theo}{定理}[section]
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\renewcommand\proofname{\bf [証明]}
\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}

\title{集合と位相(内田)}
\author{江田　宜史}
\date{2023/04/10}

\begin{document}
\maketitle

\part*{はじめに}
このpdfは、内田伏一先生の著書である『集合と位相』を自分自身の言葉で書き直したものである。行間などがなるべく無いように書いたので、原著よりもページ数は多くなっているが、その分初学者にもわかりやすくなっていると思う。逆に位相に慣れている人にとっては冗長に感じられるかもしれないが、その点はご容赦いただきたい。尚、初学者にわかりやすく書いたとはいえこのPDFでは少なくとも数学科の大学1~2年で学ぶ内容は前提としているので、理解できない内容があるときはその辺りの内容も併せて学ぶことをお勧めする。

\tableofcontents

\part{集合と写像}
\section{集合とは}
\section{集合の演算}
\section{ド・モルガンの法則}
\section{直積集合}
\section{写像}

\part{濃度の大小と二項関係}
\section{全射・単射}
\section{濃度の大小}
\section{二項関係}

\part{整列集合と選択公理}
\section{整列集合}
\section{選択公理}
\section{整列可能定理}

\part{距離空間}
\section{ユークリッド空間}
\section{距離空間}
\section{近傍系と連続写像}

\newpage
\part{位相空間}
\section{位相}
$X$を空でない集合とする。$X$の部分集合族(つまりXのべき集合$\mathfrak{P}(X)$の部分集合)$\mathcal{O}$が次の条件を満足するとき、$\mathcal{O}を集合X$上の\textgt{位相}という。

$[\mathcal{O}_1]X \in \mathcal{O},\varnothing \in \mathcal{O}$

$[\mathcal{O}_2]O_1,O_2, \cdots O_k \in \mathcal{O} ならば O_1 \cap O_2 \cap \cdots \cap O_k \in \mathcal{O}$

$[\mathcal{O}_3](O_\lambda \mid \lambda \in \Lambda)$を$\mathcal{O}$の元からなる集合とすると$\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_\lambda \in \mathcal{O}$

位相$\mathcal{O}を与えられた集合X$を\textbf{位相空間}といい、$(X,\mathcal{O})$で表す。$\mathcal{O}に属するXの部分集合を位相空間(X,\mathcal{O})の開集合(厳密には\mathcal{O}\textbf{-開集合})$という。
この場合も、集合$Xの元を位相空間(X,\mathcal{O})の\textbf{点}$という。


\section{近傍系と連続写像}

\section{開基と基本近傍系}

\section{点列連続性}

\part{積空間と商空間}
\section{積空間}

\section{商空間}

\part{位相的性質}
\section{分離公理}

\section{コンパクト性}

\section{有限交叉性とチコノフの定理}

 一般の積空間でのコンパクト性に関するチコノフの定理は、位相空間論における重要な定理の一つである。ここではまず、有限集合の場合について選択公理を使わない証明を与えるものとする。

 \begin{theo}
 $(X_1,\mathcal{O}_1)$及び$(X_2,\mathcal{O}_2)$をコンパクト空間とすれば、積空間$(X_1,\mathcal{O}_1) \times (X_2,\mathcal{O}_2)$もコンパクト空間である。
 \end{theo}

 \begin{proof}
 \end{proof}
 

\begin{exa}
 0,1の2元からなる離散空間\{0,1\}の可算無限個の積空間を$2^{\omega}$で表す。例22.1から、各因子空間はコンパクトであるから、チコノフの定理より位相空間$2^{\omega}$もコンパクト空間となる。$2^{\omega}$の元は各項が0または1である数列である。$2^{\omega}$の元$x=(x_n)$と$k \in \mathbb{N}$に対して

\begin{center}
$W(x;k)=\{y=(y_n) \in 2^{\omega} \mid x_n=y_n,1 \leq n \leq k\}$
\end{center}
とし

\begin{center}
$\mathcal{B}=\{W(x;k) \mid x \in 2^{\omega},k \in \mathbb{N}\}$
\end{center}
とおくと、これは$\mathcal{O}$の開基となっている。何故ならば、$O \in \mathcal{O}$とする。積位相は$\mathcal{S}=\{ {p_n}^{-1}(V_n) \mid V_n \in \mathcal{O}_n,n \in \mathbb{N} \}$を準開基とするので、この$O$と任意の点$x \in O$について$x \in {p_{n_1}}^{-1}(V_{n_1}) \cap \cdots \cap {p_{n_k}}^{-1}(V_{n_k})$かつ${p_{n_1}}^{-1}(V_{n_1}) \cap \cdots \cap {p_{n_k}}^{-1}(V_{n_k}) \subset O$となる$V_{n_i} \in \mathcal{O}_{n_i}$が存在する。このとき各因子空間は離散空間であるから、$V_{n_i} = X_{n_i}$である。よって$n = \max \{n_i \mid 1 \leq i \leq k,n_i \in \mathbb{N} \}$とすれば$x \in W(x;n)$かつ$W(x;n) \subset {p_{n_1}}^{-1}(V_{n_1}) \cap \cdots \cap {p_{n_k}}^{-1}(V_{n_k})$となるので、$\mathcal{B}$は$\mathcal{O}$の開基である。写像$\Phi :2^{\omega} \to \mathbb{R}$

\begin{center}
$\Phi((x_n))=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2x_n}{3^n}$
\end{center}
と定義する。この時次の包含関係($\ast$)が成立することを示そう。ここで、$B_1(x;\epsilon)$は開区間$(x -\epsilon,x+\epsilon)$を表す。

\begin{center}
$(\ast) W(x;k+1) \subset \Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k})) \subset W(x;k)$
\end{center}

 まず$y \in W(x;k+1)$とする。開区間の定義から、この$y$について、$\abs{\Phi(x)-\Phi(y)} < 3^{-k}$であることを示せば良い。まず$\Phi(x)$の部分和$\sum_{n=1}^{k}\frac{2x_n}{3^n}$について、$\frac{x_n}{3^n} \leq \frac{1}{3^n}$より
 
\begin{align*}
\sum_{n=1}^{k}\frac{x_n}{3^n} \leq \sum_{n=1}^{k}\frac{1}{3^n} &= \frac{1}{2} (1-\frac{1}{3^k}) \\
&< \frac{1}{2}
\end{align*}

が成立する。よって$a_k=\sum_{n=1}^{k}\frac{x_n}{3^n}$は単調増加であるから、この級数は収束する。更に

\begin{align*}
\sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{x_n}{3^n} \leq 
\sum_{n \geq k+2}^{\infty}\frac{1}{3^n} &= \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{3^n} - \sum_{n=1}^{k+1}\frac{1}{3^n} \\
&= \frac{1}{2} - (\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \times \frac{1}{3^{k+1}}) \\
&= \frac{1}{2} \times \frac{1}{3^{k+1}}
\end{align*}

より、$\sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2x_n}{3^n} \leq \frac{1}{3^{k+1}} < \frac{1}{3^k}$が成立している。従って、$x_n=y_n(1 \leq n \leq k+1)$であることから

\begin{align*}
\left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2x_n}{3^n} - \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2y_n}{3^n} \right\rvert = \left\lvert \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2(x_n - y_n)}{3^n} \right\rvert &= \left\lvert \sum_{n \geq k+2}^{\infty}\frac{2(x_n - y_n)}{3^n} \right\rvert \\
&\leq \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \left\lvert \frac{2(x_n-y_n)}{3^n} \right\rvert \\
&\leq \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2}{3^n} \\
&= \frac{1}{3^{k+1}} \\
&< \frac{1}{3^k}
\end{align*}
となる。故に$y \in \Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k}))$。次に$\Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k})) \subset W(x;k)$を示す。
つまり、$\forall y \in \Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k}))$に対し、$1 \leq n \leq k$を満たす$n$について$x_n=y_n$となることを示す。そのために、まず次の事実を帰納法により示す。

\begin{center}
$\forall k \in \mathbb{N},\left(\exists n_0 \in \mathbb{N},1 \leq n_0 \leq k,x_{n_0} \neq y_{n_0} \Rightarrow \left\lvert \sum_{k=1}^{\infty} \left( \frac{2x_n}{3^n} - \frac{2y_n}{3^n} \right) \right\rvert \geq \frac{1}{3^k} \right)$ 
\end{center}
まず$k=1$の時、$n_0=1$であるから$x_1-y_1=\pm{1}$となる。まず$x_n-y_n=1$となる場合を考えると

\begin{center}
$\left\lvert \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2x_n}{3^n} - \frac{2y_n}{3^n} \right) \right\rvert = \left\lvert \frac{2}{3} + \sum_{n=2}^{\infty}\frac{2x_n}{3^n} -\frac{2y_n}{3^n} \right\rvert$
\end{center}
である。$n \in \mathbb{N}$について常に$-1 \leq x_n-y_n \leq 1$であるから、$- \frac{2}{3^n} \leq \frac{2(x_n-y_n)}{3^n} \leq \frac{2}{3^n}$。よって

\begin{center}
$- \sum_{n=2}^{k} \frac{2}{3^n} \leq \sum_{n=2}^{k} \frac{2(x_n-y_n)}{3^n} \leq \sum_{n=2}^{k} \frac{2}{3^n}$
\end{center}
が成立。$\lim_{k \to \infty} \sum_{n=2}^{k} \frac{2}{3^n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2}{3^n} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$であることに注意すると

\begin{align*}
-\frac{1}{3} &= - \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{3^n} \\
&\leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(x_n - y_n)}{3^n} \\
&\leq \sum_{n=2}^{\infty} \frac{2}{3^n} \\
&= \frac{1}{3}
\end{align*}

よって$\frac{1}{3} \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(x_n - y_n)}{3^n} + \frac{2}{3} \leq 1$より、命題は成立する。$x_n-y_n=-1$となる場合も$ -1 \leq \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(x_n - y_n)}{3^n} \leq -\frac{1}{3}$より、やはり成立。従って$k=1$の時、命題は真。次に$k$が一般の場合について成り立つと仮定し、$k+1$の時も成り立つことを示す。

$1 \leq n_0 \leq k$であるときは、帰納法の仮定から成立するので、$n_0 = k+1$の時に成立することを示せば良い。ここで、もし$1 \leq n \leq k$が$x_n \neq y_n$を満たすとすれば命題は成立するので、$k$以下の$n$については全て$x_n = y_n$となるものとして良い。従って$k=1$の時と同様、まず$x_{k+1} - y_{k+1} = 1$となる場合を考える。
$\sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2}{3^n}= \frac{1}{3^{k+1}}$であるから、
\begin{gather*}
- \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2}{3^n} \leq \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2(x_n - y_n)}{3^n} \leq \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2}{3^n} \\
- \frac{1}{3^{k+1}} + \frac{2}{3^{k+1}} \leq \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \frac{2(x_n - y_n)}{3^n} + \frac{2}{3^{k+1}} \leq \frac{1}{3^{k+1}} + \frac{2}{3^{k+1}}
\end{gather*}

よって$\left\lvert \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{2x_n}{3^n} - \frac{2y_n}{3^n} \right) \right\rvert = \left\lvert \frac{2}{3^{k+1}} + \sum_{n \geq k+2}^{\infty} \left( \frac{2x_n}{3^n} - \frac{2y_n}{3^n} \right) \right\rvert \geq \frac{1}{3^k}$ 
が成立。$x_{k+1} - y_{k+1} = -1$となる場合も同様にして証明できる。以上より、任意の$k$に対して命題は成立することが示せた。故に$\Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k})) \subset W(x;k)$である。

 さて、実はこの包含関係から$\Phi$が連続写像であることが従う。任意の$\epsilon>0$に対して$k \in \mathbb{N}$を十分大きくすれば$3^{-k} < \epsilon$とできるので、$B_1(\Phi(x);3^{-k}) \subset B_1(\Phi(x);\epsilon)$となり、$(\ast)$より$W(x;k+1) \subset \Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);3^{-k})) \subset \Phi^{-1}(B_1(\Phi(x);\epsilon))$であるから$\Phi$は連続。

 \end{exa}

\section{局所コンパクト性}

\begin{theo}
局所コンパクトハウスドルフ空間において、コンパクト近傍の全体は基本近傍系となる。すなわち、各点$x$の任意の近傍に対し、それに包まれるようなコンパクト近傍が存在している。
\end{theo}

\begin{proof}
$(X,\mathcal{O})$を局所コンパクトハウスドルフ空間とし、$x \in X$とする。$N$を$x$の相対コンパクトな開近傍とし、$U$を点$x$の任意の開近傍とする。この時$N$の閉包$\overline{N}$は$(X,\mathcal{O})$の部分位相空間としてコンパクトハウスドルフ空間となっている。何故ならば、$\mathcal{G}_{\overline{N}}$を部分位相空間$(\overline{N},\mathcal{O}_{\overline{N}})$における任意の開被覆とする。$(O_{\lambda})_{\lambda \in \Lambda}$を$(X,\mathcal{O})$における開集合とすると、

\begin{center}
$\overline{N} \subset \bigcup \mathcal{G}_{\overline{N}} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} (O_{\lambda} \cap \overline{N}) = \overline{N} \cap (\bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda})$
\end{center}
となるので、$\overline{N} \subset \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$。故に$\mathcal{G} = \bigcup_{\lambda \in \Lambda} O_{\lambda}$と置くと、$N$が相対コンパクトであるという仮定から$\overline{N} \subset\bigcup_{i=1}^{n} O_{\lambda_i}$となる$O_{\lambda_i} \in \mathcal{G}$が存在し、更に
$\mathcal{G}'_{\overline{N}} = \{ O_{\lambda_i} \cap \overline{N} \mid O_{\lambda_i} \in \mathcal{G},1 \leq i \leq n \}$は$\mathcal{G}'_{\overline{N}} \subset \mathcal{G}_{\overline{N}}$かつ$ \overline{N} \subset \bigcup \mathcal{G}'_{\overline{N}}$を満たしている。よって$\overline{N}$は部分位相空間としてコンパクトである。また、$x,y$を$\overline{N}$の相異なる点とすると、$X$がハウスドルフより$x \in O_1,y \in O_2,O_1 \cap O_2 = \varnothing$となる$O_1,O_2 \in \mathcal{O}$が存在する。よって$x \in \overline{N} \cap O_1,y \in \overline{N} \cap O_2$かつ$(\overline{N} \cap O_1) \cap (\overline{N} \cap O_2) = \varnothing$より、$\overline{N}$はハウスドルフ空間となる。これより$\overline{N}$はコンパクトハウスドルフ空間であるから、これは正規空間となる。よって$(\overline{N} \cap U)^c = \overline{N} - (\overline{N} \cap U) = \overline{N} - U$と$\overline{N} \cap U$が相対位相の
開集合であることから、$\overline{N} - U$は閉集合である。また、$\{ x \}$は有限集合であることからコンパクトであり、閉集合となる。$\overline{N} - U$と$\{ x \}$は互いに交わらないので$\mathcal{O}$開集合$V_1,V_2$で
\begin{center}
$x \in V_1,\overline{N} -V_2 \subset V_2,(V_1 \cap \overline{N}) \cap (V_2 \cap \overline{N}) = \varnothing$
\end{center}
となるものが存在する。$W = V_1 \cap N$とおけば、$W$は位相空間$(X,\mathcal{O})$における点$x$の開近傍である。$\overline{W} = \overline{V_1 \cap N}$について、$\overline{V_1 \cap N} \subset \overline{V_1} \cap \overline{N} \subset \overline{N}$であり、$V_2$が${V_1}^c$に包まれる開集合であることから$V_2 \subset ({V_1}^c)^i = (\overline{V_1})^c$が成立。よって$\overline{V_1} \subset {V_2}^c$となるので$\overline{W} \subset \overline{N} - V_2$が成り立っている。また、$\overline{N} - U \subset V_2$より$\overline{N} - V_2 \subset U$。$\overline{W}$は$\overline{N}$の閉集合だからコンパクト

\end{proof}

\section*{一点コンパクト化}

\section{連結性}

位相空間$(X,\mathcal{O})$において空集合$\varnothing$と$X$は常に開集合であり閉集合である。この２つ以外に開集合かつ閉集合であるような$X$の部分集合が存在しない場合、$(X,\mathcal{O})$は連結であるという。

位相空間$(X,\mathcal{O})$において、$Xの部分集合A$が相対位相に関して連結であるとき、$Aは(X,\mathcal{O})$の連結集合であるという。

\begin{theo}
写像$f:X_1 \to X_2$を位相空間$(X_1,\mathcal{O}_1)$から位相空間$(X_2,\mathcal{O}_2)$への連続写像、$Aを(X_1,\mathcal{O}_1)の$連結集合とすれば、$f(A)は(X_2,\mathcal{O}_2)$の連結集合である。
\end{theo}

\begin{proof}
$A_2 = f(A)$とおき、$Bを(X_2,\mathcal{O}_2)の部分空間A_2$において開集合かつ閉集合であるような$A_2$の部分集合とする。よってこのとき、$\mathcal{O}_2開集合Gと\mathcal{O}_2閉集合F$で

\begin{center}

$B = G \cap A_2 = F \cap A_2$

\end{center}

となるようなものが存在する。よって$f^{-1}(B) = f^{-1}(G) \cap f^{-1}(A_2) = f^{-1}(F) \cap A_2, A \subset f^{-1}(f(A))$より

\begin{center}

$f^{-1}(B) \cap A = f^{-1}(G) \cap A = f^{-1}(F) \cap A$

\end{center}

が成り立つので、$f^{-1}(B) \cap Aは(X_1,\mathcal{O}_1)の部分空間A$における開集合であり閉集合である。ここで$A$は連結集合より、$f^{-1}(B) \cap A = \varnothing または A$である。$f^{-1}(B) \cap A = \varnothing$である場合は$B = \varnothing となる。なぜならば、もしb \in B とすればB \subset f(A) $であるから、$b = f(a)なるa \in Aが存在し、このときa \in f^{-1} \cap A $となるからである。
$f^{-1}(B) \cap A = A$である場合は$ f^{-1}(B) \cap A = AよりA \subset f^{-1}(B)$が成立するので、

\begin{center}
$A_2 = f(A) \subset f(f^{-1}(B)) \subset B (\subset A_2)$
\end{center}

となる。これより$B = A_2$となるので、$f(A)は(X_2,\mathcal{O}_2)$における連結集合であることがわかった。
\end{proof}

このことから、位相空間の連結性も位相的性質であることがわかる。

\begin{theo}

  位相空間$(X,\mathcal{O})$と$X$の部分集合$A,B$について、
\begin{center}
    $A \subset B \subset \overline{A}$
\end{center}

  が成り立つとする。このとき$A$が連結集合であれば、$B$も連結集合である。特に、連結集合の閉包は連結集合である。
\end{theo}

\begin{proof}
$B_1$を位相空間$(X,\mathcal{O})の部分空間$B$
\end{proof}



\end{document}